MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorProbabilitățiCombinatorică
Se consideră mulțimea M={1,2,3,4,5}M = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Se aleg la întâmplare două submulțimi nevide ale lui M. Care este probabilitatea ca intersecția lor să fie nevidă?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Numărul total de submulțimi nevide ale lui M este 25−1=312^5 - 1 = 31.
23 puncte
Numărul total de moduri de a alege două submulțimi nevide (pereche neordonată) este (312)=465\binom{31}{2} = 465.
33 puncte
Numărul de perechi de submulțimi nevide cu intersecția vidă. Pentru perechi ordonate de submulțimi disjuncte (inclusiv vide), fiecare element are 3 opțiuni (în prima, în a doua, sau în niciuna), deci 35=2433^5 = 243. Scădem cazurile cu cel puțin o mulțime vidă: 25+25−1=632^5 + 2^5 - 1 = 63, deci perechi ordonate disjuncte și nevide: 243−63=180243 - 63 = 180. Perechile neordonate disjuncte și nevide: 180/2=90180 / 2 = 90.
42 puncte
Probabilitatea ca intersecția să fie nevidă este 1−90465=1−631=25311 - \frac{90}{465} = 1 - \frac{6}{31} = \frac{25}{31}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.