MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeGeometrie Analitică
Să se demonstreze că pentru orice numere complexe z1z_1 și z2z_2, avem ∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) și să se interpreteze geometric acest rezultat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}.
24 puncte
Calculăm ∣z1+z2∣2=(a+c)2+(b+d)2|z_1 + z_2|^2 = (a+c)^2 + (b+d)^2 și ∣z1−z2∣2=(a−c)2+(b−d)2|z_1 - z_2|^2 = (a-c)^2 + (b-d)^2.
32 puncte
Sumăm și simplificăm folosind identități algebrice: (a+c)2+(b+d)2+(a−c)2+(b−d)2=2(a2+b2+c2+d2)=2(∣z1∣2+∣z2∣2)(a+c)^2 + (b+d)^2 + (a-c)^2 + (b-d)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).
41 punct
Interpretare geometrică: în paralelogramul cu vârfurile 0,z1,z2,z1+z20, z_1, z_2, z_1+z_2, suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor laturilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.