MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗+k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}, v⃗=i⃗+4j⃗−2k⃗\vec{v} = \vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k} și w⃗=ai⃗+j⃗+bk⃗\vec{w} = a\vec{i} + \vec{j} + b\vec{k} în spațiul tridimensional. a) Determinați valorile reale aa și bb pentru care vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sunt liniar dependenți. b) Pentru a=1a=1 și bb găsit, exprimați w⃗\vec{w} ca o combinație liniară a lui u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Vectorii sunt liniar dependenți dacă determinantul matricei coordonatelor este zero: det⁡(2−3114−2a1b)=0\det \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ a & 1 & b \end{pmatrix} = 0. Calcul: 2(4b+2)+3(b+2a)+(1−4a)=8b+4+3b+6a+1−4a=11b+2a+52(4b + 2) + 3(b + 2a) + (1 - 4a) = 8b + 4 + 3b + 6a + 1 - 4a = 11b + 2a + 5. Setăm 11b+2a+5=011b + 2a + 5 = 0.
23 puncte
Pentru a=1a=1, 11b+2⋅1+5=0⇒11b+7=0⇒b=−71111b + 2\cdot1 + 5 = 0 \Rightarrow 11b + 7 = 0 \Rightarrow b = -\frac{7}{11}.
33 puncte
Cu a=1a=1, b=−711b=-\frac{7}{11}, rezolvăm w⃗=xu⃗+yv⃗\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}: sistemul {1=2x+y1=−3x+4y−711=x−2y\begin{cases} 1 = 2x + y \\ 1 = -3x + 4y \\ -\frac{7}{11} = x - 2y \end{cases}. Din primele două: x=311x = \frac{3}{11}, y=511y = \frac{5}{11}, verificăm cu a treia: 311−2⋅511=−711\frac{3}{11} - 2\cdot\frac{5}{11} = -\frac{7}{11}. Deci w⃗=311u⃗+511v⃗\vec{w} = \frac{3}{11}\vec{u} + \frac{5}{11}\vec{v}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.