MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie sistemul de ecuații liniare: {(m+1)x+2y+z=3mx+y+(m−1)z=2x+my+z=1\begin{cases} (m+1)x + 2y + z = 3 \\ mx + y + (m-1)z = 2 \\ x + my + z = 1 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care sistemul are soluție unică, nu are soluție sau are o infinitate de soluții. Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrie matricea sistemului A=(m+121m1m−11m1)A = \begin{pmatrix} m+1 & 2 & 1 \\ m & 1 & m-1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix} și calculează determinantul det⁡(A)=m2−m−2\det(A) = m^2 - m - 2.
23 puncte
Determină valorile lui mm pentru care det⁡(A)=0\det(A) = 0, adică m2−m−2=0⇒m=−1m^2 - m - 2 = 0 \Rightarrow m = -1 sau m=2m = 2. Pentru m≠−1,2m \neq -1, 2, sistemul are soluție unică. Pentru m=−1m = -1, matricea extinsă are rangul 2, deci sistemul nu are soluție. Pentru m=2m = 2, matricea extinsă are rangul 2, deci sistemul are o infinitate de soluții.
32 puncte
Pentru m≠−1,2m \neq -1, 2, aplică regula lui Cramer pentru a găsi soluția unică: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, etc., cu calcule explicite.
42 puncte
Pentru m=2m=2, sistemul devine {3x+2y+z=32x+y+z=2x+2y+z=1\begin{cases} 3x + 2y + z = 3 \\ 2x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 1 \end{cases}. Rezolvând, se obține soluția generală x=1,y=0,z=0x=1, y=0, z=0, verificând că satisface toate ecuațiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.