MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii în spațiul tridimensional: a⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}, c⃗=3i⃗+2j⃗−2k⃗\vec{c} = 3\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}. a) Arătați că vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} sunt liniar independenți. b) Exprimați vectorul d⃗=5i⃗+6j⃗+7k⃗\vec{d} = 5\vec{i} + 6\vec{j} + 7\vec{k} ca o combinație liniară a vectorilor a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}. c) Calculați volumul paralelipipedului construit pe vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru independența liniară, calculăm determinantul matricii formate din coordonatele vectorilor: det⁡(2−13−14132−2)=2⋅det⁡(412−2)−(−1)⋅det⁡(−113−2)+3⋅det⁡(−1432)=2⋅(4⋅(−2)−1⋅2)+1⋅((−1)⋅(−2)−1⋅3)+3⋅((−1)⋅2−4⋅3)=2⋅(−8−2)+1⋅(2−3)+3⋅(−2−12)=2⋅(−10)+1⋅(−1)+3⋅(−14)=−20−1−42=−63≠0\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot (4 \cdot (-2) - 1 \cdot 2) + 1 \cdot ((-1) \cdot (-2) - 1 \cdot 3) + 3 \cdot ((-1) \cdot 2 - 4 \cdot 3) = 2 \cdot (-8 - 2) + 1 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (-2 - 12) = 2 \cdot (-10) + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-14) = -20 -1 -42 = -63 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.
24 puncte
Căutăm scalarii x,y,zx, y, z astfel încât d⃗=xa⃗+yb⃗+zc⃗\vec{d} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}. Aceasta conduce la sistemul: {2x−y+3z=5−x+4y+z=63x+2y−2z=7\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ -x + 4y + z = 6 \\ 3x + 2y - 2z = 7 \end{cases}. Rezolvăm sistemul, de exemplu, prin metoda eliminării: din prima ecuație, y=2x+3z−5y = 2x + 3z - 5. Substituim în a doua: −x+4(2x+3z−5)+z=6⇒−x+8x+12z−20+z=6⇒7x+13z=26-x + 4(2x+3z-5) + z = 6 \Rightarrow -x + 8x + 12z -20 + z = 6 \Rightarrow 7x + 13z = 26. Din a treia: 3x+2(2x+3z−5)−2z=7⇒3x+4x+6z−10−2z=7⇒7x+4z=173x + 2(2x+3z-5) - 2z = 7 \Rightarrow 3x + 4x + 6z -10 -2z = 7 \Rightarrow 7x + 4z = 17. Scădem ecuațiile: (7x+13z)−(7x+4z)=26−17⇒9z=9⇒z=1(7x+13z) - (7x+4z) = 26-17 \Rightarrow 9z = 9 \Rightarrow z=1. Atunci 7x+4=17⇒x=17x + 4 = 17 \Rightarrow x=1, și y=2+3−5=0y = 2+3-5=0. Verificare: d⃗=a⃗+0⋅b⃗+c⃗\vec{d} = \vec{a} + 0\cdot\vec{b} + \vec{c}? Nu, recalcul: din x=1,z=1x=1, z=1, y=2x+3z−5=2+3−5=0y=2x+3z-5=2+3-5=0, dar verificând în sistem: 2−0+3=52-0+3=5 (corect), −1+0+1=0≠6-1+0+1=0 \neq 6 (greșit). Corectez: rezolv sistemul corect. O metodă alternativă: din 7x+4z=177x+4z=17 și 7x+13z=267x+13z=26, scăzând: 9z=9⇒z=19z=9 \Rightarrow z=1, apoi 7x+4=17⇒x=1377x+4=17 \Rightarrow x= \frac{13}{7}. Atunci din prima: 2⋅137−y+3=5⇒267−y+3=5⇒y=267+3−5=267−2=26−147=1272\cdot\frac{13}{7} - y + 3=5 \Rightarrow \frac{26}{7} - y + 3 =5 \Rightarrow y = \frac{26}{7} + 3 -5 = \frac{26}{7} -2 = \frac{26-14}{7} = \frac{12}{7}. Verific în a doua: −137+4⋅127+1=−13+487+1=357+1=5+1=6-\frac{13}{7} + 4\cdot\frac{12}{7} + 1 = \frac{-13+48}{7} +1 = \frac{35}{7}+1=5+1=6 (corect). Deci x=137,y=127,z=1x=\frac{13}{7}, y=\frac{12}{7}, z=1. Așadar, d⃗=137a⃗+127b⃗+c⃗\vec{d} = \frac{13}{7}\vec{a} + \frac{12}{7}\vec{b} + \vec{c}.
32 puncte
Volumul paralelipipedului este valoarea absolută a produsului mixt: V=∣a⃗⋅(b⃗×c⃗)∣=∣det⁡(2−13−14132−2)∣=∣−63∣=63V = | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | = | \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix} | = | -63 | = 63.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.