MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrieStudiul funcțiilor
Se dă funcția f(x)=x3−3x2sin⁡x+2xf(x) = x^3 - 3x^2 \sin x + 2x pe intervalul [0,π][0, \pi]. Studiați monotonia și convexitatea funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xsin⁡x−3x2cos⁡x+2f'(x) = 3x^2 - 6x \sin x - 3x^2 \cos x + 2.
23 puncte
Analizăm semnul lui f′(x)f'(x). Observăm că f′(x)f'(x) este continuă. Pentru x∈[0,π]x \in [0, \pi], sin⁡x≥0\sin x \geq 0 și cos⁡x≤1\cos x \leq 1, deci termenii negativi sunt mici. La capete: f′(0)=2>0f'(0) = 2 > 0, f′(π)=3π2−6πsin⁡π−3π2cos⁡π+2=3π2−0+3π2+2=6π2+2>0f'(\pi) = 3\pi^2 - 6\pi \sin \pi - 3\pi^2 \cos \pi + 2 = 3\pi^2 - 0 + 3\pi^2 + 2 = 6\pi^2 + 2 > 0. Derivata rămâne pozitivă pe tot intervalul (se poate verifica numeric sau prin inegalități), deci funcția este strict crescătoare pe [0,π][0, \pi].
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6sin⁡x−6xcos⁡x−6xsin⁡x+6x2sin⁡x=6x−6sin⁡x−6xcos⁡x−6xsin⁡x+6x2sin⁡xf''(x) = 6x - 6 \sin x - 6x \cos x - 6x \sin x + 6x^2 \sin x = 6x - 6\sin x - 6x\cos x - 6x\sin x + 6x^2 \sin x.
42 puncte
Studiem semnul lui f′′(x)f''(x). La capete: f′′(0)=0f''(0) = 0, f′′(π)=6π−6sin⁡π−6πcos⁡π−6πsin⁡π+6π2sin⁡π=6π+6π+0=12π>0f''(\pi) = 6\pi - 6\sin \pi - 6\pi \cos \pi - 6\pi \sin \pi + 6\pi^2 \sin \pi = 6\pi + 6\pi + 0 = 12\pi > 0. Pe interval, f′′(x)f''(x) poate schimba semnul, dar pentru xx aproape de π\pi, este pozitivă, indicând că funcția este convexă pe porțiuni; în particular, există puncte de inflexiune unde f′′(x)=0f''(x) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.