MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăTeoria Mulțimilor
Fie AA și BB două mulțimi nevide de numere reale. Considerăm propozițiile: pp: "∀x∈A,∃y∈B\forall x \in A, \exists y \in B astfel încât x=y2x = y^2." qq: "∃y∈B\exists y \in B astfel încât ∀x∈A,x=y2\forall x \in A, x = y^2." a) Scrieți negațiile propozițiilor pp și qq folosind cuantificatori. b) Arătați că implicația p⇒qp \Rightarrow q este falsă, oferind un contraexemplu concret. c) Pentru A={1,4,9}A = \{1,4,9\} și B={−3,−2,−1,1,2,3}B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}, determinați valoarea de adevăr a propozițiilor pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
a) Negațiile: ¬p:∃x∈A,∀y∈B,x≠y2\neg p: \exists x \in A, \forall y \in B, x \neq y^2; ¬q:∀y∈B,∃x∈A,x≠y2\neg q: \forall y \in B, \exists x \in A, x \neq y^2.
24 puncte
b) Contraexemplu: Se consideră A={1,4}A = \{1,4\} și B={−1,1,−2,2}B = \{-1,1,-2,2\}. Atunci pp este adevărată (pentru x=1x=1, există y=1y=1 sau y=−1y=-1; pentru x=4x=4, există y=2y=2 sau y=−2y=-2), iar qq este falsă (nu există y∈By \in B astfel încât pentru ambele x∈Ax \in A, x=y2x=y^2). Implicația p⇒qp \Rightarrow q este falsă.
33 puncte
c) Pentru A={1,4,9}A = \{1,4,9\} și B={−3,−2,−1,1,2,3}B = \{-3,-2,-1,1,2,3\}: Propoziția pp este adevărată (pentru x=1x=1, există y=1y=1 sau y=−1y=-1; pentru x=4x=4, există y=2y=2 sau y=−2y=-2; pentru x=9x=9, există y=3y=3 sau y=−3y=-3). Propoziția qq este falsă (nu există y∈By \in B astfel încât pentru toate x∈Ax \in A, x=y2x=y^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.