MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x−2f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. a) Determinați domeniul de definiție DD al funcției ff. b) Determinați asimptotele funcției ff. c) Studiați monotonia funcției ff pe intervalele din domeniul de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul de definiție se obține din condiția x−2≠0x-2 \neq 0, deci D=R∖{2}D = \mathbb{R} \setminus \{2\}.
25 puncte
Asimptotele:
  • Asimptota verticală: se calculează lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x). f(x)=(x−1)(x−3)x−2f(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{x-2}. lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty, deci x=2x=2 este asimptotă verticală.
  • Asimptote orizontale sau oblice: se compară gradele. Numărătorul are gradul 2, numitorul gradul 1, deci există asimptotă oblică. Se efectuează împărțirea: f(x)=x−2+−1x−2f(x) = x - 2 + \frac{-1}{x-2}. Atunci lim⁡x→±∞[f(x)−(x−2)]=0\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (x-2)] = 0, deci y=x−2y = x-2 este asimptotă oblică atât la +∞+\infty cât și la −∞-\infty.
33 puncte
Monotonia: se studiază semnul derivatei. f′(x)=(2x−4)(x−2)−(x2−4x+3)(x−2)2=2x2−8x+8−x2+4x−3(x−2)2=x2−4x+5(x−2)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x-2) - (x^2-4x+3)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 -8x+8 - x^2 +4x -3}{(x-2)^2} = \frac{x^2 -4x+5}{(x-2)^2}. Numitorul pătrat pozitiv, numărătorul Δ=16−20=−4<0\Delta = 16-20 = -4 <0, deci x2−4x+5>0x^2-4x+5>0 pentru orice xx. Astfel f′(x)>0f'(x) >0 pe DD, deci ff este strict crescătoare pe (−∞,2)(-\infty,2) și pe (2,∞)(2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.