MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația: Cn2+Cn3=4⋅An2C_n^2 + C_n^3 = 4 \cdot A_n^2, unde Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} și Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem ecuația în funcție de factoriali: n!2!(n−2)!+n!3!(n−3)!=4⋅n!(n−2)!\frac{n!}{2!(n-2)!} + \frac{n!}{3!(n-3)!} = 4 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}.
24 puncte
Simplificăm, presupunând n≥2n \geq 2 și n≥3n \geq 3 pentru validitate, dar din ecuație n≥2n \geq 2 este suficient. Obținem: n(n−1)2+n(n−1)(n−2)6=4n(n−1)\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4n(n-1). Dacă n(n−1)≠0n(n-1) \neq 0, simplificăm: 12+n−26=4\frac{1}{2} + \frac{n-2}{6} = 4. Rezolvăm: 3+n−26=4⇒n+1=24⇒n=23\frac{3 + n-2}{6} = 4 \Rightarrow n+1 = 24 \Rightarrow n=23.
34 puncte
Verificăm condițiile: n=23n=23 este un număr natural și n≥3n \geq 3, deci este valid. Soluția ecuației este n=23n=23.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.