MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAsimptote
Fie funcția f:R→Rf:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Să se determine: a) intervalele de monotonie ale funcției ff; b) intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff; c) ecuația asimptotei oblice la graficul funcției g:R→Rg:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x) = \frac{f(x)}{x}, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculez derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2) și derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1);
23 puncte
Studiul monotoniei: rezolv f′(x)=0f'(x) = 0 și obțin punctele critice x=0x=0 și x=2x=2. Aleg valori de test: pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]; pentru 0<x<20<x<2, f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare pe [0,2][0, 2]; pentru x>2x>2, f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty);
33 puncte
Studiul convexității: rezolv f′′(x)=0f''(x) = 0 și obțin x=1x=1. Pentru x<1x<1, f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff este concavă pe (−∞,1](-\infty, 1]; pentru x>1x>1, f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff este convexă pe [1,+∞)[1, +\infty);
42 puncte
Pentru asimptota la g(x)=x2−3x+4xg(x) = x^2 - 3x + \frac{4}{x}: calculez m=lim⁡x→±∞g(x)x=lim⁡x→±∞x2−3x+4xx=lim⁡x→±∞(x−3+4x2)m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 3x + \frac{4}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} (x - 3 + \frac{4}{x^2}), care nu există ca număr finit, deci nu există asimptotă oblică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.