MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiDerivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−axf(x) = x \ln x - ax, unde aa este un parametru real. Determinați valorile lui aa pentru care funcția ff este convexă pe domeniul său de definiție și apoi studiați monotonia funcției g(x)=f(x)+xg(x) = f(x) + x în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=ln⁡x+1−af'(x) = \ln x + 1 - a și derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Funcția ff este convexă dacă f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x>0x > 0. Deoarece f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pe (0,∞)(0, \infty), rezultă că ff este convexă pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}.
33 puncte
Funcția g(x)=f(x)+x=xln⁡x−ax+x=xln⁡x−(a−1)xg(x) = f(x) + x = x \ln x - ax + x = x \ln x - (a-1)x. Derivata g′(x)=ln⁡x+1−(a−1)=ln⁡x−a+2g'(x) = \ln x + 1 - (a-1) = \ln x - a + 2. Studiați semnul lui g′(x)g'(x): g′(x)>0g'(x) > 0 dacă ln⁡x>a−2\ln x > a-2, adică x>ea−2x > e^{a-2}. Astfel, gg este descrescătoare pe (0,ea−2)(0, e^{a-2}) și crescătoare pe (ea−2,∞)(e^{a-2}, \infty).
42 puncte
Concluzie: ff este convexă pentru orice aa, iar monotonia lui gg depinde de aa, având un minim în x=ea−2x = e^{a-2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.