MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareNumere Complexe
Determinați numerele complexe z1z_1 și z2z_2 care verifică sistemul: {(1+i)z1+(2−i)z2=3+4i(3+2i)z1−(1−3i)z2=1−2i\begin{cases} (1+i)z_1 + (2-i)z_2 = 3+4i \\ (3+2i)z_1 - (1-3i)z_2 = 1-2i \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrierea sistemului sub formă matricială: (1+i2−i3+2i−(1−3i))(z1z2)=(3+4i1−2i)\begin{pmatrix} 1+i & 2-i \\ 3+2i & -(1-3i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4i \\ 1-2i \end{pmatrix}. Calculul determinantului: Δ=(1+i)(−(1−3i))−(2−i)(3+2i)=−12+i\Delta = (1+i)(-(1-3i)) - (2-i)(3+2i) = -12 + i.
24 puncte
Aplicarea regulii lui Cramer. Calculul determinanților: Δ1=∣3+4i2−i1−2i−(1−3i)∣=−15+10i\Delta_1 = \begin{vmatrix} 3+4i & 2-i \\ 1-2i & -(1-3i) \end{vmatrix} = -15+10i, Δ2=∣1+i3+4i3+2i1−2i∣=2−19i\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1+i & 3+4i \\ 3+2i & 1-2i \end{vmatrix} = 2-19i. Atunci z1=Δ1Δ=−15+10i−12+iz_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-15+10i}{-12+i}, z2=Δ2Δ=2−19i−12+iz_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{2-19i}{-12+i}.
32 puncte
Simplificarea expresiilor prin înmulțirea cu conjugatul numitorului. Pentru z1z_1: (−15+10i)(−12−i)(−12+i)(−12−i)=190−105i145=38−21i29\frac{(-15+10i)(-12-i)}{(-12+i)(-12-i)} = \frac{190 -105i}{145} = \frac{38 -21i}{29}. Pentru z2z_2: (2−19i)(−12−i)145=−24−2i+228i−19145=−43+226i145\frac{(2-19i)(-12-i)}{145} = \frac{-24 -2i +228i -19}{145} = \frac{-43 +226i}{145}. Soluția: z1=38−21i29z_1 = \frac{38 -21i}{29}, z2=−43+226i145z_2 = \frac{-43 +226i}{145}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.