MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=1x+y+az=1\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică, infinit de soluții sau nicio soluție. Calculați soluția unică pentru a=2a = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea asociată sistemului: A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și calculați determinantul det⁡(A)=a3−3a+2\det(A) = a^3 - 3a + 2.\n
24 puncte
Factorizați determinantul: det⁡(A)=(a−1)2(a+2)\det(A) = (a-1)^2(a+2). Discutați cazurile: pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, deci sistemul are soluție unică; pentru a=1a=1, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \end{cases}, adică are infinit de soluții; pentru a=−2a=-2, sistemul este incompatibil.\n
33 puncte
Pentru a=2a=2, det⁡(A)=4≠0\det(A) = 4 \neq 0, deci sistemul are soluție unică. Rezolvați sistemul, de exemplu prin adunarea ecuațiilor: adunând cele trei ecuații, se obține 4(x+y+z)=34(x+y+z)=3, deci x+y+z=34x+y+z=\frac{3}{4}; substituind în prima ecuație, 2x+34=1⇒x=142x + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}, iar din simetrie y=z=14y=z=\frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.