MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie AnaliticăVectori
În spațiu, se consideră punctele A(1,2,3)A(1,2,3), B(2,−1,1)B(2,-1,1), C(3,0,−1)C(3,0,-1) și D(0,5,a)D(0,5,a). Determinați valoarea lui aa pentru care punctele AA, BB, CC și DD sunt coplanare, și aflați ecuația planului determinat de ele în acest caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Stabiliți condiția de coplanaritate folosind produsul mixt al vectorilor AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} și AD⃗\vec{AD}. Calculați vectorii: AB⃗=(2−1,−1−2,1−3)=(1,−3,−2)\vec{AB} = (2-1, -1-2, 1-3) = (1, -3, -2), AC⃗=(3−1,0−2,−1−3)=(2,−2,−4)\vec{AC} = (3-1, 0-2, -1-3) = (2, -2, -4), AD⃗=(0−1,5−2,a−3)=(−1,3,a−3)\vec{AD} = (0-1, 5-2, a-3) = (-1, 3, a-3). Punctele sunt coplanare dacă produsul mixt este zero: det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)=0\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = 0.
23 puncte
Scrieți determinantul și formați o ecuație liniară pentru aa: ∣1−3−22−2−4−13a−3∣=0\begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} = 0. Calculați: 1⋅∣−2−43a−3∣−(−3)⋅∣2−4−1a−3∣+(−2)⋅∣2−2−13∣=(−2(a−3)+12)+3(2(a−3)−4)−2(6−2)=(−2a+6+12)+3(2a−6−4)−2(4)=(−2a+18)+3(2a−10)−8=−2a+18+6a−30−8=4a−201 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 3 & a-3 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & a-3 \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-2(a-3) + 12) + 3(2(a-3) - 4) - 2(6 - 2) = (-2a+6+12) + 3(2a-6-4) - 2(4) = (-2a+18) + 3(2a-10) - 8 = -2a+18+6a-30-8 = 4a -20. Setând 4a−20=04a - 20 = 0, obțineți a=5a = 5.
33 puncte
Pentru a=5a = 5, punctele AA, BB, CC, DD sunt coplanare. Găsiți ecuația planului care trece prin AA, BB, CC. Folosiți vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}; ecuația planului este dată de det⁡(AB⃗,AC⃗,AM⃗)=0\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AM}) = 0, unde M(x,y,z)M(x,y,z) este un punct arbitrar. Substituez: ∣x−1y−2z−31−3−22−2−4∣=0\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & -4 \end{vmatrix} = 0. Calculați determinantul: (x−1)((−3)(−4)−(−2)(−2))−(y−2)(1(−4)−(−2)(2))+(z−3)(1(−2)−(−3)(2))=(x−1)(12−4)−(y−2)(−4+4)+(z−3)(−2+6)=8(x−1)+0+4(z−3)=8x−8+4z−12=8x+4z−20=0(x-1)((-3)(-4) - (-2)(-2)) - (y-2)(1(-4) - (-2)(2)) + (z-3)(1(-2) - (-3)(2)) = (x-1)(12 - 4) - (y-2)(-4 + 4) + (z-3)(-2 + 6) = 8(x-1) + 0 + 4(z-3) = 8x - 8 + 4z - 12 = 8x + 4z - 20 = 0. Simplificați: 2x+z−5=02x + z - 5 = 0. Așadar, ecuația planului este 2x+z−5=02x + z - 5 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.