MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=xi⃗+2j⃗\vec{a} = x\vec{i} + 2\vec{j} și b⃗=3i⃗+yj⃗\vec{b} = 3\vec{i} + y\vec{j}, unde x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Dacă vectorul a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} este coliniar cu vectorul i⃗+j⃗\vec{i} + \vec{j} și ∣∣a⃗−b⃗∣∣=5||\vec{a} - \vec{b}|| = 5, determinați xx și yy.

Rezolvare completă

10 puncte · 9 pași
11 punct
Scrierea vectorului a⃗+b⃗=(x+3)i⃗+(2+y)j⃗\vec{a} + \vec{b} = (x+3)\vec{i} + (2+y)\vec{j}.
22 puncte
Condiția de coliniaritate cu i⃗+j⃗\vec{i} + \vec{j}: există k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât x+3=kx+3 = k și 2+y=k2+y = k, deci x+3=2+y⇒x−y=−1x+3 = 2+y \Rightarrow x - y = -1.
31 punct
Scrierea vectorului a⃗−b⃗=(x−3)i⃗+(2−y)j⃗\vec{a} - \vec{b} = (x-3)\vec{i} + (2-y)\vec{j}.
41 punct
Condiția de normă: ∣∣a⃗−b⃗∣∣=(x−3)2+(2−y)2=5||\vec{a} - \vec{b}|| = \sqrt{(x-3)^2 + (2-y)^2} = 5.
51 punct
Din x−y=−1x - y = -1, exprimă y=x+1y = x+1.
61 punct
Substituție în ecuația normei: (x−3)2+(2−(x+1))2=25⇒(x−3)2+(1−x)2=25(x-3)^2 + (2 - (x+1))^2 = 25 \Rightarrow (x-3)^2 + (1-x)^2 = 25.
71 punct
Dezvoltare: x2−6x+9+x2−2x+1=25⇒2x2−8x+10=25⇒2x2−8x−15=0x^2 -6x+9 + x^2 -2x+1 = 25 \Rightarrow 2x^2 -8x +10 = 25 \Rightarrow 2x^2 -8x -15=0.
81 punct
Rezolvarea ecuației: x=8±64+1204=8±1844=8±2464=4±462x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 120}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{184}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{46}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{46}}{2}.
91 punct
Calculul lui yy: y=x+1=4±462+1=4±46+22=6±462y = x+1 = \frac{4 \pm \sqrt{46}}{2} + 1 = \frac{4 \pm \sqrt{46} + 2}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{46}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.