MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorArii și volumeMatematică aplicată
Un cilindru circular drept cu capac are volumul fix V=1000π cm3V = 1000 \pi \text{ cm}^3. Suprafața totală a cilindrului este dată de S=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi r h, unde rr este raza bazei și hh este înălțimea. Folosind derivate, determinați valorile lui rr și hh pentru care suprafața totală este minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din V=πr2h=1000πV = \pi r^2 h = 1000 \pi, obținem h=1000r2h = \frac{1000}{r^2}. Atunci S(r)=2πr2+2πr⋅1000r2=2πr2+2000πrS(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000\pi}{r}.
23 puncte
Calculați derivata: S′(r)=4πr−2000πr2S'(r) = 4\pi r - \frac{2000\pi}{r^2}. Găsiți punctele critice: S′(r)=0⇒4πr=2000πr2⇒r3=500⇒r=543S'(r) = 0 \Rightarrow 4\pi r = \frac{2000\pi}{r^2} \Rightarrow r^3 = 500 \Rightarrow r = 5\sqrt[3]{4}.
32 puncte
Verificați natura punctului critic: S′′(r)=4π+4000πr3>0S''(r) = 4\pi + \frac{4000\pi}{r^3} > 0 pentru r>0r>0, deci r=543r = 5\sqrt[3]{4} este punct de minim.
42 puncte
Determinați înălțimea: h=1000r2=100025⋅42/3=4042/3=1043h = \frac{1000}{r^2} = \frac{1000}{25 \cdot 4^{2/3}} = \frac{40}{4^{2/3}} = 10\sqrt[3]{4}. Suprafața minimă este S_{\text{\min}} = S(5\sqrt[3]{4}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.