MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareEcuații exponentialeEcuații logaritmice
Rezolvați sistemul de ecuații: {2x+2y=6log⁡2(x)+log⁡2(y)=1\begin{cases} 2^{x} + 2^{y} = 6 \\ \log_2(x) + \log_2(y) = 1 \end{cases}, unde x>0x > 0 și y>0y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din ecuația a doua, folosind proprietatea logaritmilor, log⁡2(xy)=1  ⟹  xy=2\log_2(xy) = 1 \implies xy = 2.
23 puncte
Introducem variabilele auxiliare a=2xa = 2^{x} și b=2yb = 2^{y}. Atunci a+b=6a + b = 6 și x=log⁡2ax = \log_2 a, y=log⁡2by = \log_2 b, deci (log⁡2a)(log⁡2b)=2(\log_2 a)(\log_2 b) = 2.
33 puncte
Din a+b=6a + b = 6, avem b=6−ab = 6 - a. Substituim în ecuația cu logaritmi: (log⁡2a)(log⁡2(6−a))=2(\log_2 a)(\log_2 (6 - a)) = 2. Observăm că pentru a=2a = 2, log⁡22=1\log_2 2 = 1 și log⁡2(6−2)=log⁡24=2\log_2 (6-2) = \log_2 4 = 2, iar 1⋅2=21 \cdot 2 = 2. Similar, pentru a=4a = 4, log⁡24=2\log_2 4 = 2 și log⁡2(6−4)=log⁡22=1\log_2 (6-4) = \log_2 2 = 1, deci 2⋅1=22 \cdot 1 = 2. Astfel, a=2a = 2 sau a=4a = 4.
42 puncte
Pentru a=2a = 2, avem 2x=2  ⟹  x=12^{x} = 2 \implies x = 1, și din xy=2xy = 2, obținem y=2y = 2. Pentru a=4a = 4, avem 2x=4  ⟹  x=22^{x} = 4 \implies x = 2, și y=1y = 1. Verificăm în prima ecuație: pentru x=1,y=2x=1, y=2, 21+22=2+4=62^{1} + 2^{2} = 2 + 4 = 6; pentru x=2,y=1x=2, y=1, 22+21=4+2=62^{2} + 2^{1} = 4 + 2 = 6. Soluțiile sunt (1,2)(1,2) și (2,1)(2,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.