MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatrici
Fie matricea M=(abcbcacab)M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Demonstrați că det⁡(M)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(M) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). Apoi, determinați toate tripletele (a,b,c)(a,b,c) pentru care det⁡(M)=0\det(M) = 0 și a+b+c=3a+b+c=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculează determinantul matricei M folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(M)=a∣caab∣−b∣bacb∣+c∣bcca∣=a(cb−a2)−b(b2−ac)+c(ba−c2)=abc−a3−b3+abc+abc−c3=3abc−a3−b3−c3\det(M) = a \begin{vmatrix} c & a \\ a & b \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} b & a \\ c & b \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} b & c \\ c & a \end{vmatrix} = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. \n
23 puncte
Folosește identitatea algebrică a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca). Atunci det⁡(M)=−(a3+b3+c3−3abc)=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)\det(M) = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = -(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = (a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2). \n
33 puncte
Din det⁡(M)=0\det(M)=0 și a+b+c=3a+b+c=3, avem (a+b+c)(ab+bc+ca−a2−b2−c2)=0(a+b+c)(ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2)=0. Cum a+b+c=3≠0a+b+c=3 \neq 0, rezultă ab+bc+ca−a2−b2−c2=0ab+bc+ca - a^2 - b^2 - c^2=0, adică a2+b2+c2=ab+bc+caa^2+b^2+c^2 = ab+bc+ca. Această egalitate implică (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0, deci a=b=ca=b=c. Din a+b+c=3a+b+c=3, se obține a=b=c=1a=b=c=1. Astfel, singurul triplet este (1,1,1)(1,1,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.