MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={sin⁡(3x)x,daca˘ x<0a,daca˘ x=01−e−bxx,daca˘ x>0f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(3x)}{x}, & \text{dacă } x < 0 \\ a, & \text{dacă } x = 0 \\ \frac{1 - e^{-bx}}{x}, & \text{dacă } x > 0 \end{cases}. Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât ff să fie continuă în x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm limita la stânga: lim⁡x→0−sin⁡(3x)x=lim⁡x→0−3⋅sin⁡(3x)3x=3⋅1=3\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3.
24 puncte
Calculăm limita la dreapta: lim⁡x→0+1−e−bxx\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-bx}}{x}. Fie u=−bxu = -bx. Când x→0+x \to 0^+, u→0u \to 0. Atunci 1−e−bxx=1−eux=−(eu−1)−u/b=b⋅eu−1u\frac{1 - e^{-bx}}{x} = \frac{1 - e^u}{x} = \frac{-(e^u - 1)}{-u/b} = b \cdot \frac{e^u - 1}{u}. Folosind lim⁡u→0eu−1u=1\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1, obținem lim⁡x→0+1−e−bxx=b⋅1=b\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{-bx}}{x} = b \cdot 1 = b.
32 puncte
Pentru continuitate în x=0x=0, trebuie ca lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0). Deci 3=a3 = a și b=ab = a, de unde a=3a=3 și b=3b=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.