MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0. Demonstrați că: 1) a2+b2+c2=−2(ab+bc+ca)a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab+bc+ca); 2) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc; 3) a4+b4+c4=12(a2+b2+c2)2a^4 + b^4 + c^4 = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din a+b+c=0a+b+c=0, ridicăm la pătrat: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0, deci a2+b2+c2=−2(ab+bc+ca)a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca).\n
23 puncte
Folosim identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). Cum a+b+c=0a+b+c=0, rezultă a3+b3+c3=3abca^3+b^3+c^3 = 3abc.\n
34 puncte
Calculăm (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2). Din pasul 1, ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2). Atunci, a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2−2abc(a+b+c)=(−12(a2+b2+c2))2−0=14(a2+b2+c2)2a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c) = \left(-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\right)^2 - 0 = \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)^2. Înlocuind, obținem (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2⋅14(a2+b2+c2)2(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2 \cdot \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)^2, de unde a4+b4+c4=12(a2+b2+c2)2a^4+b^4+c^4 = \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.