MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−axf(x) = \ln(x^2 + 1) - ax, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care funcția are exact două puncte de extrem local și găsiți aceste puncte, precizând natura lor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează derivata funcției: f′(x)=2xx2+1−af'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - a.
22 puncte
Pune condiția f′(x)=0f'(x)=0 pentru punctele critice: 2xx2+1=a\frac{2x}{x^2+1} = a, care se scrie ca ax2−2x+a=0a x^2 - 2x + a = 0.
33 puncte
Pentru ca ecuația să aibă două soluții reale distincte, discriminantul trebuie să fie pozitiv și coeficientul lui x2x^2 nenul: Δ=4−4a2>0\Delta = 4 - 4a^2 > 0 și a≠0a \neq 0, deci a∈(−1,0)∪(0,1)a \in (-1,0) \cup (0,1).
43 puncte
Pentru aa în acest interval, punctele critice sunt x1,2=1±1−a2ax_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-a^2}}{a}. Studiind semnul derivatei în jurul acestor puncte (de exemplu, testul derivatei întâi), se constată că sunt puncte de extrem local: pentru a>0a>0, x1x_1 este minim și x2x_2 este maxim, iar pentru a<0a<0, ordinea se inversează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.