MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=62x−y+z=3x+2y+3z=14\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y + 3z = 14 \end{cases} a) Scrieți matricea sistemului și calculați determinantul acesteia. b) Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer. c) Verificați soluția găsită.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea matricei sistemului A=(1112−11123)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} și calculul determinantului det⁡(A)=1⋅(−1⋅3−1⋅2)−1⋅(2⋅3−1⋅1)+1⋅(2⋅2−(−1)⋅1)=1⋅(−5)−1⋅(5)+1⋅(5)=−5−5+5=−5\det(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (-5) - 1 \cdot (5) + 1 \cdot (5) = -5 - 5 + 5 = -5.
25 puncte
Aplicarea metodei lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, unde Ax=(6113−111423)A_x = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 14 & 2 & 3 \end{pmatrix}, det⁡(Ax)=6⋅(−1⋅3−1⋅2)−1⋅(3⋅3−14⋅1)+1⋅(3⋅2−14⋅(−1))=6⋅(−5)−1⋅(−5)+1⋅(20)=−30+5+20=−5\det(A_x) = 6 \cdot (-1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (3 \cdot 3 - 14 \cdot 1) + 1 \cdot (3 \cdot 2 - 14 \cdot (-1)) = 6 \cdot (-5) - 1 \cdot (-5) + 1 \cdot (20) = -30 + 5 + 20 = -5, deci x=−5−5=1x = \frac{-5}{-5} = 1. Ay=(1612311143)A_y = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 14 & 3 \end{pmatrix}, det⁡(Ay)=1⋅(3⋅3−14⋅1)−6⋅(2⋅3−1⋅1)+1⋅(2⋅14−1⋅3)=1⋅(−5)−6⋅(5)+1⋅(25)=−5−30+25=−10\det(A_y) = 1 \cdot (3 \cdot 3 - 14 \cdot 1) - 6 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 14 - 1 \cdot 3) = 1 \cdot (-5) - 6 \cdot (5) + 1 \cdot (25) = -5 - 30 + 25 = -10, y=−10−5=2y = \frac{-10}{-5} = 2. Az=(1162−131214)A_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 14 \end{pmatrix}, det⁡(Az)=1⋅(−1⋅14−3⋅2)−1⋅(2⋅14−1⋅3)+6⋅(2⋅2−(−1)⋅1)=1⋅(−20)−1⋅(25)+6⋅(5)=−20−25+30=−15\det(A_z) = 1 \cdot (-1 \cdot 14 - 3 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 14 - 1 \cdot 3) + 6 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (-20) - 1 \cdot (25) + 6 \cdot (5) = -20 - 25 + 30 = -15, z=−15−5=3z = \frac{-15}{-5} = 3. Soluția este (x,y,z)=(1,2,3)(x,y,z) = (1,2,3).
32 puncte
Verificare: 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6, 2⋅1−2+3=32 \cdot 1 - 2 + 3 = 3, 1+2⋅2+3⋅3=141 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14, toate ecuațiile sunt satisfăcute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.