MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ax2+b,daca˘ x<24x−c,daca˘ x≥2f(x) = \begin{cases} ax^2 + b, & \text{dacă } x < 2 \\ 4x - c, & \text{dacă } x \geq 2 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui aa, bb și cc pentru care ff este continuă în x=2x=2. b) Pentru valorile găsite, studiați dacă ff este derivabilă în x=2x=2. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru continuitate în x=2x=2, calculați lim⁡x→2−f(x)=4a+b\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4a + b și lim⁡x→2+f(x)=8−c\lim_{x \to 2^+} f(x) = 8 - c, cu f(2)=8−cf(2)=8-c. Impuneți condiția 4a+b=8−c4a + b = 8 - c.
23 puncte
Pentru derivabilitate, calculați derivatele laterale: f−′(2)=lim⁡x→2−ax2+b−(8−c)x−2=4af'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{ax^2 + b - (8-c)}{x-2} = 4a (folosind regula lui l'Hôpital sau simplificare) și f+′(2)=lim⁡x→2+4x−c−(8−c)x−2=4f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{4x - c - (8-c)}{x-2} = 4. Impuneți 4a=44a = 4 pentru derivabilitate, deci a=1a=1, apoi din continuitate 4(1)+b=8−c⇒b=4−c4(1) + b = 8 - c \Rightarrow b = 4 - c. Alegeți o valoare pentru cc (de ex., c=0c=0 pentru simplitate) și obțineți b=4b=4.
34 puncte
Pentru a=1,b=4,c=0a=1, b=4, c=0, f(x)={x2+4,x<24x,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 + 4, & x < 2 \\ 4x, & x \geq 2 \end{cases}. Studiați semnul derivatei: pe (−∞,2)(-\infty, 2), f′(x)=2xf'(x)=2x, deci ff descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și crescătoare pe (0,2)(0,2); pe (2,∞)(2, \infty), f′(x)=4>0f'(x)=4 > 0, deci crescătoare. Concluzie: intervalele de monotonie sunt (−∞,0)(-\infty,0) descrescătoare, (0,2)(0,2) crescătoare, și (2,∞)(2,\infty) crescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.