MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Se consideră punctele A(1,−1,2)A(1, -1, 2), B(3,0,1)B(3, 0, 1) și C(0,2,3)C(0, 2, 3). Să se determine: a) Coordonatele vectorilor AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Produsul vectorial AB⃗×AC⃗\vec{AB} \times \vec{AC} și interpretarea geometrică a acestuia. c) Ecuația planului determinat de punctele A, B și C. d) Distanța de la punctul D(4,1,−2)D(4, 1, -2) la acest plan.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A și AC⃗=C−A\vec{AC} = C - A. Rezultă AB⃗=(3−1)i⃗+(0−(−1))j⃗+(1−2)k⃗=2i⃗+j⃗−k⃗\vec{AB} = (3-1)\vec{i} + (0-(-1))\vec{j} + (1-2)\vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} și AC⃗=(0−1)i⃗+(2−(−1))j⃗+(3−2)k⃗=−i⃗+3j⃗+k⃗\vec{AC} = (0-1)\vec{i} + (2-(-1))\vec{j} + (3-2)\vec{k} = -\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}.
23 puncte
Calculează produsul vectorial AB⃗×AC⃗\vec{AB} \times \vec{AC} folosind determinantul: AB⃗×AC⃗=∣i⃗j⃗k⃗21−1−131∣=i⃗(1⋅1−(−1)⋅3)−j⃗(2⋅1−(−1)⋅(−1))+k⃗(2⋅3−1⋅(−1))=4i⃗−j⃗+7k⃗\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) - \vec{j}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) + \vec{k}(2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) = 4\vec{i} - \vec{j} + 7\vec{k}. Interpretare: Acest vector este normal la planul (ABC).
33 puncte
Scrie ecuația planului folosind punctul A și vectorul normal n⃗=4i⃗−j⃗+7k⃗\vec{n} = 4\vec{i} - \vec{j} + 7\vec{k}: 4(x−1)−(y+1)+7(z−2)=04(x-1) - (y+1) + 7(z-2) = 0. Simplificând: 4x−y+7z−19=04x - y + 7z -19 = 0.
42 puncte
Calculează distanța de la D(4,1,-2) la planul 4x−y+7z−19=04x - y + 7z -19 = 0: d=∣4⋅4−1⋅1+7⋅(−2)−19∣42+(−1)2+72=∣16−1−14−19∣66=1866=36611d = \frac{|4 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 7 \cdot (-2) -19|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 7^2}} = \frac{|16 -1 -14 -19|}{\sqrt{66}} = \frac{18}{\sqrt{66}} = \frac{3\sqrt{66}}{11}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.