MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
Într-un sistem de coordonate cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(0,0)A(0,0) și B(4,0)B(4,0). Punctul CC este astfel încât triunghiul ABCABC are unghiul AA de 30∘30^\circ și unghiul BB de 45∘45^\circ. Să se afle coordonatele punctului CC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm AC=t>0AC = t > 0. Deoarece unghiul A=30∘A = 30^\circ și A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0), direcția lui ACAC formează un unghi de 30∘30^\circ cu axa OxOx, deci coordonatele lui CC sunt C(tcos⁡30∘,tsin⁡30∘)=(t⋅32,t⋅12)C(t \cos 30^\circ, t \sin 30^\circ) = \left( t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, t \cdot \frac{1}{2} \right).
23 puncte
Unghiul B=45∘B = 45^\circ, deci unghiul dintre vectorii BA⃗=(−4,0)\vec{BA} = (-4,0) și BC⃗=(t32−4,t2)\vec{BC} = \left( \frac{t\sqrt{3}}{2} - 4, \frac{t}{2} \right) este 45∘45^\circ. Folosind produsul scalar: BA⃗⋅BC⃗=∣BA⃗∣∣BC⃗∣cos⁡45∘\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos 45^\circ. Avem ∣BA⃗∣=4|\vec{BA}| = 4, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, și BA⃗⋅BC⃗=−4(t32−4)=−2t3+16\vec{BA} \cdot \vec{BC} = -4 \left( \frac{t\sqrt{3}}{2} - 4 \right) = -2t\sqrt{3} + 16. Astfel, −2t3+16=4⋅(t32−4)2+(t2)2⋅22-2t\sqrt{3} + 16 = 4 \cdot \sqrt{ \left( \frac{t\sqrt{3}}{2} - 4 \right)^2 + \left( \frac{t}{2} \right)^2 } \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. Simplificând, obținem −t3+8=2⋅t2−4t3+16-t\sqrt{3} + 8 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{t^2 - 4t\sqrt{3} + 16}.
33 puncte
Ridicăm la pătrat: (−t3+8)2=2(t2−4t3+16)(-t\sqrt{3} + 8)^2 = 2(t^2 - 4t\sqrt{3} + 16). Dezvoltăm: 64−16t3+3t2=2t2−8t3+3264 - 16t\sqrt{3} + 3t^2 = 2t^2 - 8t\sqrt{3} + 32, deci t2−8t3+32=0t^2 - 8t\sqrt{3} + 32 = 0. Rezolvăm: t=83±192−1282=83±82=43±4t = \frac{8\sqrt{3} \pm \sqrt{192 - 128}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \pm 8}{2} = 4\sqrt{3} \pm 4. Din condiții geometrice, t=ACt = AC este pozitiv și corespunde triunghiului cu unghiul A=30∘A=30^\circ, deci t=43−4t = 4\sqrt{3} - 4.
41 punct
Coordonatele lui CC sunt ((43−4)⋅32,(43−4)⋅12)=(6−23,23−2) \left( (4\sqrt{3} - 4) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, (4\sqrt{3} - 4) \cdot \frac{1}{2} \right) = \left( 6 - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} - 2 \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.