MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr real x ≥ -1 și orice număr natural n, are loc inegalitatea (1+x)n≥1+nx(1+x)^n \geq 1+nx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1: (1+x)1=1+x≥1+1⋅x=1+x(1+x)^1 = 1+x \geq 1+1\cdot x = 1+x, egalitate, deci adevărat.
23 puncte
Presupunem că pentru un n natural, (1+x)n≥1+nx(1+x)^n \geq 1+nx pentru orice x ≥ -1.
35 puncte
Demonstrăm pentru n+1. Considerăm (1+x)n+1=(1+x)n(1+x)(1+x)^{n+1} = (1+x)^n (1+x). Din ipoteza inductivă, (1+x)n≥1+nx(1+x)^n \geq 1+nx, și cum x ≥ -1, avem 1+x≥01+x \geq 0, deci putem înmulți inegalitatea cu (1+x)(1+x) păstrând sensul: (1+x)n(1+x)≥(1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx2=1+(n+1)x+nx2≥1+(n+1)x(1+x)^n (1+x) \geq (1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2 \geq 1 + (n+1)x, deoarece nx2≥0nx^2 \geq 0. Astfel, (1+x)n+1≥1+(n+1)x(1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x, ceea ce completează demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.