MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie AA și BB două mulțimi finite cu ∣A∣=m|A| = m și ∣B∣=n|B| = n. Știind că numărul de submulțimi ale lui AA este cu 48 mai mare decât numărul de submulțimi ale lui BB, că ∣A∩B∣=3|A \cap B| = 3 și ∣A∪B∣=7|A \cup B| = 7, determinați mm și nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Numărul de submulțimi ale lui AA este 2m2^m, iar al lui BB este 2n2^n. Din condiția dată, avem 2m−2n=482^m - 2^n = 48.
22 puncte
Utilizând formula pentru cardinalul reuniunii, ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, obținem 7=m+n−37 = m + n - 3, deci m+n=10m + n = 10.
33 puncte
Din 2m−2n=482^m - 2^n = 48, factorizăm 2n(2m−n−1)=482^n(2^{m-n} - 1) = 48. Deoarece 2n2^n este putere a lui 2, testăm valori: pentru 2n=162^n = 16, avem 2m−n−1=32^{m-n} - 1 = 3, deci 2m−n=42^{m-n} = 4, astfel m−n=2m-n = 2.
42 puncte
Rezolvăm sistemul m+n=10m + n = 10 și m−n=2m - n = 2, obținând m=6m = 6 și n=4n = 4.
51 punct
Verificare: 26−24=64−16=482^6 - 2^4 = 64 - 16 = 48 și 6+4−3=76 + 4 - 3 = 7, corect.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.