MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Determinați asimptotele funcției g:D→Rg: D \to \mathbb{R}, g(x)=ln⁡(x2−4)−xg(x) = \ln(x^2 - 4) - x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină domeniul de definiție: x2−4>0⇒x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty).
23 puncte
Asimptote verticale: se calculează limitele la x→−2+x \to -2^+ și x→2+x \to 2^+. lim⁡x→−2+g(x)=lim⁡x→−2+(ln⁡(x2−4)−x)=−∞−(−2)=−∞\lim_{x \to -2^+} g(x) = \lim_{x \to -2^+} (\ln(x^2-4) - x) = -\infty - (-2) = -\infty, deci x=−2x = -2 este asimptotă verticală. Similar, lim⁡x→2+g(x)=lim⁡x→2+(ln⁡(x2−4)−x)=−∞−2=−∞\lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} (\ln(x^2-4) - x) = -\infty - 2 = -\infty, deci x=2x = 2 este asimptotă verticală.
33 puncte
Asimptote orizontale și oblice la +∞+\infty: se calculează lim⁡x→+∞g(x)=lim⁡x→+∞(ln⁡(x2−4)−x)=−∞\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln(x^2-4) - x) = -\infty, deci nu există asimptotă orizontală. Pentru asimptotă oblică, m=lim⁡x→+∞g(x)x=lim⁡x→+∞(ln⁡(x2−4)x−1)=0−1=−1m = \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln(x^2-4)}{x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1. Apoi n=lim⁡x→+∞(g(x)−(−1)x)=lim⁡x→+∞(ln⁡(x2−4)−x+x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x2−4)=+∞n = \lim_{x \to +\infty} (g(x) - (-1)x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln(x^2-4) - x + x) = \lim_{x \to +\infty} \ln(x^2-4) = +\infty, deci nu există asimptotă oblică.
42 puncte
Asimptote la −∞-\infty: similar, lim⁡x→−∞g(x)=lim⁡x→−∞(ln⁡(x2−4)−x)=+∞\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} (\ln(x^2-4) - x) = +\infty, deci nu există asimptotă orizontală. m=lim⁡x→−∞g(x)x=lim⁡x→−∞(ln⁡(x2−4)x−1)=0−1=−1m = \lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{\ln(x^2-4)}{x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1, și n=lim⁡x→−∞(g(x)−(−1)x)=lim⁡x→−∞ln⁡(x2−4)=+∞n = \lim_{x \to -\infty} (g(x) - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} \ln(x^2-4) = +\infty, deci nici asimptotă oblică. Concluzie: funcția are doar asimptote verticale x=−2x = -2 și x=2x = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.