MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x,y,zx,y,z numere reale care verifică sistemul: {x+y+z=6x2+y2+z2=14xy+yz+zx=11\begin{cases} x+y+z=6 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ xy+yz+zx=11 \end{cases}. Calculați x3+y3+z3x^3+y^3+z^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați consistența sistemului folosind identitatea (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx). Înlocuiți: 62=366^2=36 și 14+2⋅11=14+22=3614+2\cdot11=14+22=36, deci sistemul este consistent.
22 puncte
Scrieți ecuația cubică ale cărei rădăcini sunt x,y,zx,y,z: t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0, adică t3−6t2+11t−xyz=0t^3 - 6t^2 + 11t - xyz = 0.
33 puncte
Determinați xyzxyz găsind rădăcinile ecuației. Încercați valori întregi: pentru t=1t=1, ecuația devine 1−6+11−xyz=0⇒xyz=61-6+11-xyz=0 \Rightarrow xyz=6. Factorizați: (t−1)(t2−5t+6)=0(t-1)(t^2-5t+6)=0, deci rădăcinile sunt t=1,2,3t=1,2,3 și xyz=6xyz=6.
43 puncte
Calculați x3+y3+z3x^3+y^3+z^3 folosind identitatea x3+y3+z3=(x+y+z)3−3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyzx^3+y^3+z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y+z)(xy+yz+zx) + 3xyz. Înlocuiți: 63−3⋅6⋅11+3⋅6=216−198+18=366^3 - 3\cdot6\cdot11 + 3\cdot6 = 216 - 198 + 18 = 36.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.