MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n și orice număr real θ, are loc egalitatea (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru n=1, avem (cos⁡θ+isin⁡θ)1=cos⁡θ+isin⁡θ=cos⁡(1⋅θ)+isin⁡(1⋅θ)(\cos\theta + i\sin\theta)^1 = \cos\theta + i\sin\theta = \cos(1\cdot\theta) + i\sin(1\cdot\theta), deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că pentru n=k, egalitatea este adevărată, adică (cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta).
34 puncte
Pentru n=k+1, avem (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)k⋅(cos⁡θ+isin⁡θ)=[cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)]⋅(cos⁡θ+isin⁡θ)(\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1} = (\cos\theta + i\sin\theta)^k \cdot (\cos\theta + i\sin\theta) = [\cos(k\theta) + i\sin(k\theta)] \cdot (\cos\theta + i\sin\theta). Folosind formula pentru înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică, obținem cos⁡(kθ)cos⁡θ−sin⁡(kθ)sin⁡θ+i[sin⁡(kθ)cos⁡θ+cos⁡(kθ)sin⁡θ]=cos⁡((k+1)θ)+isin⁡((k+1)θ)\cos(k\theta)\cos\theta - \sin(k\theta)\sin\theta + i[\sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta] = \cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta), conform identităților trigonometrice.
41 punct
Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n natural.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.