MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−1f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x-1}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați parametrii reali a,b,ca, b, c astfel încât graficul funcției să aibă asimptota oblică cu ecuația y=2x+3y = 2x + 3 și asimptota verticală x=1x = 1. Studiați dacă funcția mai are alte asimptote.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru asimptota verticală x=1x = 1, se verifică că limita lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) este infinită, deci a⋅12+b⋅1+c≠0a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \neq 0.
23 puncte
Pentru asimptota oblică, se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=am = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a și se obține a=2a = 2.
33 puncte
Se calculează n=lim⁡x→±∞(f(x)−2x)=lim⁡x→±∞2x2+bx+c−2x(x−1)x−1=lim⁡x→±∞(b+2)x+cx−1=b+2n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2 + bx + c - 2x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(b+2)x + c}{x-1} = b+2. Din ecuația asimptotei y=2x+3y = 2x + 3, avem n=3n = 3, deci b+2=3⇒b=1b+2 = 3 \Rightarrow b = 1.
41 punct
Din condiția de la asimptota verticală, 2+1+c≠0⇒c≠−32 + 1 + c \neq 0 \Rightarrow c \neq -3. Deci c∈R∖{−3}c \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}.
51 punct
Funcția nu are asimptotă orizontală deoarece lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.