MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareLogaritmi
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {(2a−1)x+y+z=1x+(2a−1)y+z=1x+y+(2a−1)z=1\begin{cases} (2a - 1)x + y + z = 1 \\ x + (2a - 1)y + z = 1 \\ x + y + (2a - 1)z = 1 \end{cases} unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Determinați aa pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru a=0a = 0, rezolvați sistemul. c) Fie b=log⁡2(3x+3y+3z)b = \log_2(3x + 3y + 3z), unde (x,y,z)(x, y, z) este soluția sistemului pentru a=0a = 0. Calculați determinantul matricei A=(b121b323b)A = \begin{pmatrix} b & 1 & 2 \\ 1 & b & 3 \\ 2 & 3 & b \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei coeficienților: D=∣2a−11112a−11112a−1∣D = \begin{vmatrix} 2a-1 & 1 & 1 \\ 1 & 2a-1 & 1 \\ 1 & 1 & 2a-1 \end{vmatrix}. Se observă că suma elementelor pe fiecare linie este 2a+12a+1. Se adună toate coloanele la prima coloană și se factorizează 2a+12a+1, apoi se scade prima linie din celelalte, obținând D=(2a+1)(2a−2)2D = (2a+1)(2a-2)^2. Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică a≠−12a \neq -\frac{1}{2} și a≠1a \neq 1.
23 puncte
Pentru a=0a=0, sistemul devine {−x+y+z=1x−y+z=1x+y−z=1\begin{cases} -x+y+z=1 \\ x-y+z=1 \\ x+y-z=1 \end{cases}. Se adună cele trei ecuații și se obține x+y+z=3x+y+z=3. Scăzând fiecare ecuație din aceasta, se obține x=1x=1, y=1y=1, z=1z=1.
34 puncte
Se calculează b=log⁡2(3x+3y+3z)=log⁡2(9)=2log⁡2(3)b = \log_2(3x+3y+3z) = \log_2(9) = 2\log_2(3). Se consideră matricea A=(b121b323b)A = \begin{pmatrix} b & 1 & 2 \\ 1 & b & 3 \\ 2 & 3 & b \end{pmatrix}. Determinantul acesteia este det⁡(A)=b3−14b+12\det(A) = b^3 - 14b + 12. Înlocuind b=2log⁡2(3)b=2\log_2(3), se obține det⁡(A)=8log⁡23(3)−28log⁡2(3)+12\det(A) = 8\log_2^3(3) - 28\log_2(3) + 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.