MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiPolinoame
Fie determinantul D=∣123abca2b2c2∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}. Dacă aa, bb, cc sunt soluțiile ecuației x3−3x2+2x−1=0x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0, calculați valoarea lui DD.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se observă că determinantul este de tip Vandermonde și se scrie sub forma D=(b−a)(c−a)(c−b)D = (b-a)(c-a)(c-b).\n
23 puncte
Se aplică relațiile lui Viète pentru polinomul dat: a+b+c=3a+b+c = 3, ab+ac+bc=2ab+ac+bc = 2, abc=1abc = 1.\n
33 puncte
Se exprimă D2D^2 în funcție de aceste sume: D2=(a−b)2(b−c)2(c−a)2D^2 = (a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2, iar prin calcule algebrice, se obține D2=(a+b+c)2(ab+ac+bc)2−4abc(a+b+c)3−4(ab+ac+bc)3+18abc(a+b+c)(ab+ac+bc)−27a2b2c2D^2 = (a+b+c)^2(ab+ac+bc)^2 - 4abc(a+b+c)^3 - 4(ab+ac+bc)^3 + 18abc(a+b+c)(ab+ac+bc) - 27a^2b^2c^2.\n
42 puncte
Se înlocuiesc valorile și se calculează: D2=32⋅22−4⋅1⋅33−4⋅23+18⋅1⋅3⋅2−27⋅12=36−108−32+108−27=−23D^2 = 3^2 \cdot 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3^3 - 4 \cdot 2^3 + 18 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 - 27 \cdot 1^2 = 36 - 108 - 32 + 108 - 27 = -23, deci D=−23D = \sqrt{-23}, răspunsul final fiind D=i23D = i\sqrt{23} unde i2=−1i^2 = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.