MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine numărul natural n care verifică ecuația (n2)+(n3)=4(n+13)\binom{n}{2} + \binom{n}{3} = 4\binom{n+1}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem ecuația folosind formula combinărilor: n(n−1)2+n(n−1)(n−2)6=4⋅(n+1)n(n−1)6\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}.
24 puncte
Observăm că pentru n=0 sau n=1, ambii membri sunt zero, deci n=0 și n=1 sunt soluții. Pentru n≥2, putem simplifica prin n(n−1)n(n-1): 12+n−26=4(n+1)6\frac{1}{2} + \frac{n-2}{6} = \frac{4(n+1)}{6}.
33 puncte
Rezolvăm ecuația pentru n≥2: 3+n−26=4n+46\frac{3 + n-2}{6} = \frac{4n+4}{6} deci n+1=4n+4n+1 = 4n+4, adică −3n=3-3n = 3, deci n=−1n = -1, care nu este natural și n≥2. Deci singurele soluții naturale sunt n=0 și n=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.