MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră vectorii u⃗=(m+1)i⃗+nj⃗\vec{u} = (m+1)\vec{i} + n\vec{j} și v⃗=2i⃗−3j⃗\vec{v} = 2\vec{i} - 3\vec{j}. Determinați numerele reale mm și nn astfel încât vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie coliniari și ∣u⃗∣=2∣v⃗∣|\vec{u}| = 2|\vec{v}|.

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
13 puncte
Pentru coliniaritate, există un scalar kk astfel încât u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v}, deci (m+1,n)=(2k,−3k)(m+1, n) = (2k, -3k).
22 puncte
Obține ecuațiile: m+1=2km+1 = 2k și n=−3kn = -3k.
32 puncte
Calculează ∣v⃗∣=22+(−3)2=13|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}, deci condiția ∣u⃗∣=2∣v⃗∣|\vec{u}| = 2|\vec{v}| devine (m+1)2+n2=213\sqrt{(m+1)^2 + n^2} = 2\sqrt{13}.
43 puncte
Substituie m+1=2km+1=2k și n=−3kn=-3k în condiția de modul: (2k)2+(−3k)2=13k2=∣k∣13=213\sqrt{(2k)^2 + (-3k)^2} = \sqrt{13k^2} = |k|\sqrt{13} = 2\sqrt{13}, deci ∣k∣=2|k|=2, așadar k=2k=2 sau k=−2k=-2.
52 puncte
Pentru k=2k=2, m=2⋅2−1=3m=2\cdot2-1=3, n=−3⋅2=−6n=-3\cdot2=-6; pentru k=−2k=-2, m=2⋅(−2)−1=−5m=2\cdot(-2)-1=-5, n=−3⋅(−2)=6n=-3\cdot(-2)=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.