MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
În reperul cartezian xOyxOy, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,5)B(4,5) și C(a,b)C(a,b). Dacă vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} sunt ortogonali, iar lungimea vectorului AC⃗\vec{AC} este egală cu 10\sqrt{10}, determinați coordonatele punctului CC și unghiul dintre AB⃗\vec{AB} și vectorul i⃗+j⃗\vec{i}+\vec{j}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Calculează AB⃗=(4−1,5−2)=(3,3)\vec{AB} = (4-1, 5-2) = (3,3).
22 puncte
Scrie condițiile: AB⃗⋅AC⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 și ∣AC⃗∣=10|\vec{AC}| = \sqrt{10}, unde AC⃗=(a−1,b−2)\vec{AC} = (a-1, b-2).
32 puncte
Obține sistemul de ecuații: 3(a−1)+3(b−2)=03(a-1) + 3(b-2) = 0 și (a−1)2+(b−2)2=10(a-1)^2 + (b-2)^2 = 10.
43 puncte
Rezolvă sistemul: din prima ecuație a+b=3a+b=3, substituie b=3−ab=3-a în a doua ecuație, obține (a−1)2+(1−a)2=10(a-1)^2 + (1-a)^2 = 10, deci 2(a−1)2=102(a-1)^2 = 10, a−1=±5a-1 = \pm\sqrt{5}, așadar a=1±5a=1\pm\sqrt{5} și b=2∓5b=2\mp\sqrt{5}.
52 puncte
Calculează unghiul: AB⃗=(3,3)\vec{AB} = (3,3), i⃗+j⃗=(1,1)\vec{i}+\vec{j} = (1,1), produsul scalar =3⋅1+3⋅1=6= 3\cdot1 + 3\cdot1 = 6, modulele ∣AB⃗∣=18|\vec{AB}| = \sqrt{18}, ∣i⃗+j⃗∣=2|\vec{i}+\vec{j}| = \sqrt{2}, cosinusul unghiului θ=6182=636=1\theta = \frac{6}{\sqrt{18}\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{36}} = 1, deci θ=0∘\theta = 0^\circ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.