MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine numărul de soluții în numere întregi nenegative ale ecuației x1+x2+x3+x4=10x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10, cu condițiile x1≤3x_1 \leq 3 și x2≥2x_2 \geq 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fără constrângeri, numărul de soluții nenegative întregi ale ecuației x1+x2+x3+x4=10x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10 este dat de formula combinărilor cu repetiție: C10+4−14−1=C133C_{10+4-1}^{4-1} = C_{13}^3.
24 puncte
Aplicăm constrângerile. Pentru x2≥2x_2 \geq 2, facem substituția y2=x2−2y_2 = x_2 - 2, deci y2≥0y_2 \geq 0, și ecuația devine x1+y2+x3+x4=8x_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 8. Numărul total de soluții ale acestei ecuații este C8+4−14−1=C113C_{8+4-1}^{4-1} = C_{11}^3. Pentru x1≤3x_1 \leq 3, folosim numărarea complementară: scădem soluțiile cu x1≥4x_1 \geq 4. Pentru x1≥4x_1 \geq 4, facem z1=x1−4z_1 = x_1 - 4, deci z1≥0z_1 \geq 0, și ecuația devine z1+y2+x3+x4=4z_1 + y_2 + x_3 + x_4 = 4, cu numărul de soluții C4+4−14−1=C73C_{4+4-1}^{4-1} = C_{7}^3.
32 puncte
Numărul de soluții care satisfac ambele condiții este C113−C73C_{11}^3 - C_{7}^3.
41 punct
Verifică calculul: C113=165C_{11}^3 = 165, C73=35C_{7}^3 = 35, deci numărul este 130.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.