MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateSisteme de Ecuații Neliniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}. Determinați a,b,c,da, b, c, d știind că: ff este crescătoare pe R\mathbb{R}, convexă pe (−∞,0](-\infty, 0], concavă pe [0,∞)[0, \infty), f(0)=1f(0) = 1 și f′(0)=2f'(0) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea condițiilor: f′(x)=3ax2+2bx+c≥0f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (monotonie crescătoare). f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b: pentru convexitate pe (−∞,0](-\infty, 0], f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pe (−∞,0](-\infty, 0]; pentru concavitate pe [0,∞)[0, \infty), f′′(x)≤0f''(x) \leq 0 pe [0,∞)[0, \infty). Condiții inițiale: f(0)=d=1f(0)=d=1, f′(0)=c=2f'(0)=c=2.
22 puncte
Din condițiile inițiale: d=1d=1 și c=2c=2.
33 puncte
Analiza convexității/concavității: f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b. Pe (−∞,0](-\infty, 0], f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 și pe [0,∞)[0, \infty), f′′(x)≤0f''(x) \leq 0. În particular, f′′(0)=2bf''(0)=2b trebuie să satisfacă ambele condiții simultan, deci f′′(0)=0⇒2b=0⇒b=0f''(0)=0 \Rightarrow 2b=0 \Rightarrow b=0. Atunci f′′(x)=6axf''(x)=6ax. Pentru x≤0x \leq 0, 6ax≥06ax \geq 0 implică a≤0a \leq 0 (deoarece pentru x<0x<0, produsul 6ax≥06ax \geq 0 dacă a≤0a \leq 0). Pentru x≥0x \geq 0, 6ax≤06ax \leq 0 implică a≤0a \leq 0 (deoarece pentru x>0x>0, produsul 6ax≤06ax \leq 0 dacă a≤0a \leq 0). Deci a≤0a \leq 0 și b=0b=0.
42 puncte
Analiza monotoniei: f′(x)=3ax2+2f'(x)=3ax^2 + 2 (cu b=0b=0 și c=2c=2). Pentru a≤0a \leq 0, 3ax2≤03ax^2 \leq 0 pentru orice xx, deci f′(x)≤2f'(x) \leq 2. Condiția f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice xx necesită 3ax2+2≥03ax^2 + 2 \geq 0. Dacă a<0a<0, atunci pentru ∣x∣|x| suficient de mare, 3ax23ax^2 devine negativ și mare, făcând f′(x)<0f'(x)<0. Singura posibilitate este a=0a=0, atunci f′(x)=2>0f'(x)=2>0 pentru orice xx.
51 punct
Concluzie: a=0,b=0,c=2,d=1a=0, b=0, c=2, d=1. Verificare: f(x)=2x+1f(x)=2x+1, f′(x)=2≥0f'(x)=2 \geq 0, f′′(x)=0f''(x)=0, deci condițiile de convexitate/concavitate sunt îndeplinite în sens larg (cu egalitate).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.