GreuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

GreuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorGeometrie Analitică
Fie funcția f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Se știe că ff are un punct de extrem local în x=1x=1 și că tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă x=0x=0 este dreapta de ecuație y=2x+3y=2x+3. Determinați coeficienții a,b,c,da,b,c,d astfel încât aria triunghiului format de tangentele la grafic în punctele de extrem să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scriem condiția de punct de extrem: f′(1)=0f'(1)=0, deoarece x=1x=1 este punct de extrem.
22 puncte
Din ecuația tangentei în x=0x=0, avem f(0)=3f(0)=3 și f′(0)=2f'(0)=2.
33 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c, deci f′(1)=3a+2b+c=0f'(1)=3a+2b+c=0, f(0)=d=3f(0)=d=3, f′(0)=c=2f'(0)=c=2. Obținem c=2c=2, d=3d=3, și 3a+2b+2=03a+2b+2=0.
42 puncte
Găsim punctele de extrem rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 cu c=2c=2: 3ax2+2bx+2=03ax^2+2bx+2=0. Știm că x=1x=1 este rădăcină, deci 3a+2b+2=03a+2b+2=0. Pentru a avea două puncte de extrem, discriminantul trebuie să fie pozitiv. Calculăm ecuațiile tangentelor în aceste puncte folosind f(x)f(x) și derivatele.
52 puncte
Exprimăm aria triunghiului format de tangente în funcție de aa și bb, folosind condiția 3a+2b+2=03a+2b+2=0 pentru a reduce la un singur parametru. Derivăm această expresie a ariei în raport cu parametrul și găsim valoarea minimă, determinând apoi a,b,c,da,b,c,d.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.