MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAplicații ale derivatelor
Considerăm funcția f:(0,∞)→Rf: (0,\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x)=x \ln x - x + 1. Demonstrați că funcția este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty), apoi arătați că este convexă pe întreg domeniul. Folosind aceste proprietăți, deduceți inegalitatea xln⁡x≥x−1x \ln x \ge x - 1, pentru orice x>0x>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x)=\ln x + 1 - 1 = \ln x. Semnul: f′(x)=0⇒x=1f'(x)=0 \Rightarrow x=1. Pe (0,1)(0,1), ln⁡x<0\ln x <0, deci ff descrescătoare; pe (1,∞)(1,\infty), ln⁡x>0\ln x >0, deci ff crescătoare. Minimul absolut este în x=1x=1.
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x)=\frac{1}{x}. Pentru x>0x>0, f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
34 puncte
Din convexitate și poziția minimului, pentru orice x>0x>0, f(x)≥f(1)f(x) \ge f(1), deoarece minimul este global datorită monotoniei și convexității. f(1)=1⋅0−1+1=0f(1)=1 \cdot 0 -1 +1 =0, deci xln⁡x−x+1≥0x \ln x - x +1 \ge 0, adică xln⁡x≥x−1x \ln x \ge x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.