MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Știind că ff are un punct de extrem în x=1x=1, tangenta la graficul funcției în punctul de abscisă x=2x=2 este paralelă cu dreapta y=3x+5y=3x+5, și f(0)=4f(0)=4, determinați funcția ff și studiați monotonia și convexitatea ei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condițiile din enunț folosind derivate: f′(1)=0f'(1)=0, f′(2)=3f'(2)=3 (deoarece panta tangentei este egală cu panta dreptei y=3x+5y=3x+5), și f(0)=4f(0)=4.
24 puncte
Calculăm f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c și formăm sistemul de ecuații: {3a+2b+c=012a+4b+c=3d=4\begin{cases} 3a+2b+c=0 \\ 12a+4b+c=3 \\ d=4 \end{cases}. Rezolvăm sistemul obținând a=1a=1, b=−3b=-3, c=3c=3, d=4d=4, deci f(x)=x3−3x2+3x+4f(x)=x^3-3x^2+3x+4.
33 puncte
Studiul monotoniei: f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2≥0f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 \geq 0, deci ff este crescătoare pe R\mathbb{R}. Convexitatea: f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6, deci f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x>1 (funcția este convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x<1 (funcția este concavă), iar x=1x=1 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.