MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+y−z=1x−3y+2z=43x+2y+kz=2\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - 3y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + kz = 2 \end{cases}, unde kk este un parametru real. Să se determine valorile lui kk pentru care sistemul este compatibil determinat, compatibil nedeterminat sau incompatibil. Pentru k=1k=1, să se afle soluția sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează determinantul matricei sistemului: Δ=∣21−11−3232k∣=2⋅(−3k−4)−1⋅(k−6)−1⋅(2+9)=−6k−8−k+6−11=−7k−13\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3k - 4) - 1 \cdot (k - 6) - 1 \cdot (2 + 9) = -6k - 8 - k + 6 - 11 = -7k - 13.
24 puncte
Discuție după parametru: Dacă Δ≠0⇒k≠−137\Delta \neq 0 \Rightarrow k \neq -\frac{13}{7}, sistemul este compatibil determinat. Dacă Δ=0⇒k=−137\Delta = 0 \Rightarrow k = -\frac{13}{7}, se studiază rangurile matricilor. Se calculează Δp\Delta_p (determinantul principal) pentru matricea extinsă; de exemplu, se alege minorul ∣211−3∣=−7≠0\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -7 \neq 0, deci rangul matricei sistemului este 2. Se verifică dacă rangul matricei extinse este 2 sau 3; pentru k=−137k = -\frac{13}{7}, sistemul devine incompatibil deoarece ecuația a treia devine 3x+2y−137z=23x + 2y - \frac{13}{7}z = 2 și nu este combinație liniară a primelor două. Așadar, pentru k=−137k = -\frac{13}{7}, sistemul este incompatibil. Nu există caz de compatibilitate nedeterminată.
33 puncte
Pentru k=1k=1, sistemul este: {2x+y−z=1x−3y+2z=43x+2y+z=2\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - 3y + 2z = 4 \\ 3x + 2y + z = 2 \end{cases}. Se rezolvă, de exemplu, prin metoda lui Cramer: Δ=−7⋅1−13=−20\Delta = -7 \cdot 1 - 13 = -20, Δx=∣11−14−32221∣=1⋅(−3⋅1−2⋅2)−1⋅(4⋅1−2⋅2)−1⋅(4⋅2−(−3)⋅2)=1⋅(−3−4)−1⋅(4−4)−1⋅(8+6)=−7−0−14=−21\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (4 \cdot 2 - (-3) \cdot 2) = 1 \cdot (-3-4) - 1 \cdot (4-4) - 1 \cdot (8+6) = -7 - 0 - 14 = -21, Δy=∣21−1142321∣=2⋅(4⋅1−2⋅2)−1⋅(1⋅1−2⋅3)−1⋅(1⋅2−4⋅3)=2⋅(4−4)−1⋅(1−6)−1⋅(2−12)=0−1⋅(−5)−1⋅(−10)=5+10=15\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 4 \cdot 3) = 2 \cdot (4-4) - 1 \cdot (1-6) - 1 \cdot (2-12) = 0 - 1 \cdot (-5) - 1 \cdot (-10) = 5 + 10 = 15, Δz=∣2111−34322∣=2⋅(−3⋅2−4⋅2)−1⋅(1⋅2−4⋅3)+1⋅(1⋅2−(−3)⋅3)=2⋅(−6−8)−1⋅(2−12)+1⋅(2+9)=2⋅(−14)−1⋅(−10)+11=−28+10+11=−7\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 4 \cdot 3) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - (-3) \cdot 3) = 2 \cdot (-6-8) - 1 \cdot (2-12) + 1 \cdot (2+9) = 2 \cdot (-14) - 1 \cdot (-10) + 11 = -28 + 10 + 11 = -7. Atunci x=ΔxΔ=−21−20=2120x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-21}{-20} = \frac{21}{20}, y=ΔyΔ=15−20=−34y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{15}{-20} = -\frac{3}{4}, z=ΔzΔ=−7−20=720z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-7}{-20} = \frac{7}{20}. Soluția: (2120,−34,720)\left( \frac{21}{20}, -\frac{3}{4}, \frac{7}{20} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.