MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorPolinoameStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local și ecuația tangentei la graficul funcției în punctul său de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).
22 puncte
Rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 pentru punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
32 puncte
Studiind semnul lui f′(x)f'(x) pe axa reală, determină intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), și descrescătoare pe [0,2][0,2].
42 puncte
Identifică punctele de extrem: maxim local în x=0x=0 cu f(0)=4f(0)=4, și minim local în x=2x=2 cu f(2)=0f(2)=0.
52 puncte
Calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6, găsește punctul de inflexiune unde f′′(x)=0f''(x)=0, adică x=1x=1 cu f(1)=2f(1)=2, și ecuația tangentei: panta f′(1)=−3f'(1)=-3, deci y−2=−3(x−1)y-2 = -3(x-1) sau y=−3x+5y= -3x+5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.