MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O populație de bacterii crește conform funcției P(t)=10001+9e−0.1tP(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0.1t}}, unde tt este timpul în ore. Determinați asimptota orizontală a funcției și interpretați-o în contextul problemei. Apoi, calculați timpul necesar pentru ca populația să atingă 90% din valoarea asimptotei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a găsi asimptota orizontală, calculăm lim⁡t→∞P(t)\lim_{t \to \infty} P(t). Avem lim⁡t→∞e−0.1t=0\lim_{t \to \infty} e^{-0.1t} = 0, deci lim⁡t→∞P(t)=10001+9⋅0=1000\lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{1000}{1 + 9 \cdot 0} = 1000. Astfel, asimptota orizontală este y=1000y = 1000.
22 puncte
Interpretarea: Asimptota reprezintă capacitatea maximă sau dimensiunea stabilă a populației pe termen lung, în acest caz 1000 de bacterii, deoarece creșterea se atenuează și se apropie de această valoare.
34 puncte
Trebuie să găsim tt astfel încât P(t)=0.9×1000=900P(t) = 0.9 \times 1000 = 900. Rezolvăm ecuația 10001+9e−0.1t=900\frac{1000}{1 + 9e^{-0.1t}} = 900. Înmulțim: 1000=900(1+9e−0.1t)⇒1000=900+8100e−0.1t⇒100=8100e−0.1t⇒e−0.1t=1008100=1811000 = 900(1 + 9e^{-0.1t}) \Rightarrow 1000 = 900 + 8100e^{-0.1t} \Rightarrow 100 = 8100e^{-0.1t} \Rightarrow e^{-0.1t} = \frac{100}{8100} = \frac{1}{81}. Aplicăm logaritmul natural: −0.1t=ln⁡(181)=−ln⁡(81)⇒t=ln⁡(81)0.1=10ln⁡(81)-0.1t = \ln\left(\frac{1}{81}\right) = -\ln(81) \Rightarrow t = \frac{\ln(81)}{0.1} = 10 \ln(81). Folosind ln⁡(81)=ln⁡(34)=4ln⁡(3)\ln(81) = \ln(3^4) = 4\ln(3), obținem t=40ln⁡(3)t = 40 \ln(3) ore. Dacă se dorește o valoare aproximativă, ln⁡(3)≈1.0986\ln(3) \approx 1.0986, deci t≈43.944t \approx 43.944 ore.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.