MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=exx2+1f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Precizați dacă graficul funcției admite asimptote orizontale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ex(x2+1)−ex⋅2x(x2+1)2=ex(x2−2x+1)(x2+1)2=ex(x−1)2(x2+1)2f'(x) = \frac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}. Observăm că f′(x)≥0f'(x) \ge 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate doar pentru x=1x=1. Deci funcția este crescătoare pe R\mathbb{R}; punctul x=1x=1 este punct staționar, dar nu este extrem local deoarece derivata nu își schimbă semnul (este pozitivă în jurul lui).
24 puncte
Calculăm derivata a doua: f′(x)=ex⋅(x−1)2(x2+1)2f'(x) = e^x \cdot \frac{(x-1)^2}{(x^2+1)^2}. Derivăm ca produs: f′′(x)=ex⋅(x−1)2(x2+1)2+ex⋅ddx[(x−1)2(x2+1)2]f''(x) = e^x \cdot \frac{(x-1)^2}{(x^2+1)^2} + e^x \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{(x-1)^2}{(x^2+1)^2}\right]. Notăm g(x)=(x−1)2(x2+1)2g(x) = \frac{(x-1)^2}{(x^2+1)^2}. Calculăm g′(x)=2(x−1)(x2+1)2−(x−1)2⋅2⋅(x2+1)⋅2x(x2+1)4=2(x−1)(x2+1)[(x2+1)−2x(x−1)](x2+1)4=2(x−1)[x2+1−2x2+2x](x2+1)3=2(x−1)(−x2+2x+1)(x2+1)3g'(x) = \frac{2(x-1)(x^2+1)^2 - (x-1)^2 \cdot 2 \cdot (x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = \frac{2(x-1)(x^2+1)[(x^2+1) - 2x(x-1)]}{(x^2+1)^4} = \frac{2(x-1)[x^2+1 - 2x^2 + 2x]}{(x^2+1)^3} = \frac{2(x-1)(-x^2+2x+1)}{(x^2+1)^3}. Atunci f′′(x)=ex⋅(x−1)2(x2+1)2+ex⋅2(x−1)(−x2+2x+1)(x2+1)3=ex(x2+1)3[(x−1)2(x2+1)+2(x−1)(−x2+2x+1)]f''(x) = e^x \cdot \frac{(x-1)^2}{(x^2+1)^2} + e^x \cdot \frac{2(x-1)(-x^2+2x+1)}{(x^2+1)^3} = \frac{e^x}{(x^2+1)^3} \left[ (x-1)^2(x^2+1) + 2(x-1)(-x^2+2x+1) \right]. Simplificăm expresia din paranteză: (x−1)2(x2+1)=(x2−2x+1)(x2+1)=x4−2x3+x2+x2−2x+1=x4−2x3+2x2−2x+1(x-1)^2(x^2+1) = (x^2 - 2x +1)(x^2+1) = x^4 - 2x^3 + x^2 + x^2 - 2x +1 = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x +1. Și 2(x−1)(−x2+2x+1)=2[−x3+2x2+x+x2−2x−1]=2[−x3+3x2−x−1]=−2x3+6x2−2x−22(x-1)(-x^2+2x+1) = 2[-x^3+2x^2+x + x^2-2x-1] = 2[-x^3+3x^2 - x -1] = -2x^3+6x^2-2x-2. Adunăm: x4−2x3+2x2−2x+1−2x3+6x2−2x−2=x4−4x3+8x2−4x−1x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x +1 -2x^3+6x^2-2x-2 = x^4 -4x^3 +8x^2 -4x -1. Deci f′′(x)=ex(x4−4x3+8x2−4x−1)(x2+1)3f''(x) = \frac{e^x (x^4 -4x^3+8x^2-4x-1)}{(x^2+1)^3}. Studiem semnul lui f′′(x)f''(x): ex>0e^x > 0 și (x2+1)3>0(x^2+1)^3 > 0, deci semnul este dat de polinomul P(x)=x4−4x3+8x2−4x−1P(x)=x^4-4x^3+8x^2-4x-1. Calculăm P(0)=−1<0P(0)=-1<0, P(1)=1−4+8−4−1=0P(1)=1-4+8-4-1=0, P(2)=16−32+32−8−1=7>0P(2)=16-32+32-8-1=7>0. Deoarece PP este continuă, există cel puțin o rădăcină în (0,1)(0,1) și alta în (1,2)(1,2). Derivata P′(x)=4x3−12x2+16x−4P'(x)=4x^3-12x^2+16x-4 are rădăcini, dar pentru simplitate, observăm că P(x)P(x) își schimbă semnul. Astfel, f′′(x)=0f''(x)=0 are două rădăcini reale distincte, fie ele x1∈(0,1)x_1 \in (0,1) și x2∈(1,2)x_2 \in (1,2). Intervalele de convexitate/concavitate: pentru x∈(−∞,x1)x \in (-\infty, x_1), P(x)<0P(x)<0 deci f′′(x)<0f''(x)<0 (funcția concavă); pentru x∈(x1,x2)x \in (x_1, x_2), P(x)>0P(x)>0 deci f′′(x)>0f''(x)>0 (funcția convexă); pentru x∈(x2,∞)x \in (x_2, \infty), P(x)<0P(x)<0 deci f′′(x)<0f''(x)<0 (funcția concavă). Punctele x1x_1 și x2x_2 sunt puncte de inflexiune.
32 puncte
Pentru asimptote orizontale: calculăm limitele la infinit: lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞exx2+1=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^2+1} = 0 (deoarece ex→0e^x \to 0). lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞exx2+1=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^2+1} = \infty (deoarece exe^x crește mai repede decât orice polinom). Deci graficul are o asimptotă orizontală spre −∞-\infty: y=0y=0, iar spre ∞\infty nu are asimptotă orizontală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.