MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieVectori
În triunghiul ABCABC, vectorii AB⃗=u⃗\vec{AB} = \vec{u} și AC⃗=v⃗\vec{AC} = \vec{v} au modulele ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5 și ∣v⃗∣=7|\vec{v}| = 7, iar unghiul dintre ei este 120∘120^\circ. Determinați lungimea medianei din vârful AA și cosinusul unghiului format de această mediană cu latura BCBC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Mediana din AA are vectorul AM⃗=12(AB⃗+AC⃗)=12(u⃗+v⃗)\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}), unde MM este mijlocul lui BCBC.
23 puncte
Lungimea medianei: ∣AM⃗∣=12∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡120∘=1252+72+2⋅5⋅7⋅(−12)=1225+49−35=1239|\vec{AM}| = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{5^2 + 7^2 + 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{2} \sqrt{25 + 49 - 35} = \frac{1}{2} \sqrt{39}.
34 puncte
Pentru cosinusul unghiului, vectorul BC⃗=v⃗−u⃗\vec{BC} = \vec{v} - \vec{u}. Cosinusul unghiului θ\theta dintre AM⃗\vec{AM} și BC⃗\vec{BC} este cos⁡θ=AM⃗⋅BC⃗∣AM⃗∣⋅∣BC⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{BC}|}. Calculăm AM⃗⋅BC⃗=12(u⃗+v⃗)⋅(v⃗−u⃗)=12(∣v⃗∣2−∣u⃗∣2)=12(49−25)=12\vec{AM} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{v} - \vec{u}) = \frac{1}{2}(|\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2) = \frac{1}{2}(49 - 25) = 12. ∣BC⃗∣=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡120∘=25+49−2⋅5⋅7⋅(−12)=74+35=109|\vec{BC}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^\circ} = \sqrt{25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{74 + 35} = \sqrt{109}. Deci cos⁡θ=121239⋅109=2439⋅109\cos \theta = \frac{12}{\frac{1}{2} \sqrt{39} \cdot \sqrt{109}} = \frac{24}{\sqrt{39 \cdot 109}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.