MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}. Determinați intervalele de monotonie și intervalele de convexitate/concavitate ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=ddx(x2+1x)=2x⋅x−(x2+1)x2=x2−1x2f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) = \frac{2x \cdot x - (x^2+1)}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}. |
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)=0⇒x2−1=0⇒x=±1f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1. Pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare; pentru x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1,0) \cup (0,1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare. |
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=ddx(x2−1x2)=2x⋅x2−(x2−1)⋅2xx4=2xx4=2x3f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-1}{x^2} \right) = \frac{2x \cdot x^2 - (x^2-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}. |
43 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): Pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă; pentru x<0x < 0, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.