MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareGeometrie AnaliticăVectori
În spațiul tridimensional, se consideră planele de ecuații: π1:x+2y−z=1\pi_1: x + 2y - z = 1, π2:2x−y+3z=5\pi_2: 2x - y + 3z = 5, și π3:−x+4y+az=b\pi_3: -x + 4y + az = b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Să se determine valorile lui aa și bb pentru care cele trei plane au un punct comun unic, și să se găsească acest punct. De asemenea, să se analizeze cazurile când planele nu se intersectează într-un punct.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Sistemul de ecuații liniare din intersecția planelor este: {x+2y−z=12x−y+3z=5−x+4y+az=b\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ -x + 4y + az = b \end{cases}.
23 puncte
Scriem sistemul în formă matricială Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}, cu A=(12−12−13−14a)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & a \end{pmatrix}, x⃗=(xyz)\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, b⃗=(15b)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ b \end{pmatrix}. Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=1⋅∣−134a∣−2⋅∣23−1a∣+(−1)⋅∣2−1−14∣=1(−a−12)−2(2a+3)−1(8−1)=−a−12−4a−6−7=−5a−25=−5(a+5)\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & a \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & a \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 1(-a - 12) - 2(2a + 3) - 1(8 - 1) = -a - 12 - 4a - 6 - 7 = -5a - 25 = -5(a+5).
33 puncte
Pentru det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică a≠−5a \neq -5, sistemul are soluție unică. Rezolvăm sistemul, de exemplu prin metoda eliminării. Din primele două ecuații, înmulțim prima cu 2 și o scădem din a doua: (2x−y+3z)−2(x+2y−z)=5−2⋅1⇒−5y+5z=3⇒−y+z=35(2x - y + 3z) - 2(x + 2y - z) = 5 - 2 \cdot 1 \Rightarrow -5y + 5z = 3 \Rightarrow -y + z = \frac{3}{5}. Din prima ecuație, x=1−2y+zx = 1 - 2y + z. Substituim în a treia: −(1−2y+z)+4y+az=b⇒−1+2y−z+4y+az=b⇒6y+(a−1)z=b+1- (1 - 2y + z) + 4y + az = b \Rightarrow -1 + 2y - z + 4y + az = b \Rightarrow 6y + (a-1)z = b+1. Cu −y+z=35-y + z = \frac{3}{5}, exprimăm z=y+35z = y + \frac{3}{5} și substituim: 6y+(a−1)(y+35)=b+1⇒(5+a)y+3(a−1)5=b+16y + (a-1)(y + \frac{3}{5}) = b+1 \Rightarrow (5+a)y + \frac{3(a-1)}{5} = b+1. Pentru a≠−5a \neq -5, avem y=5(b+1)−3(a−1)5(5+a)=5b+5−3a+35(a+5)=5b−3a+85(a+5)y = \frac{5(b+1) - 3(a-1)}{5(5+a)} = \frac{5b+5-3a+3}{5(a+5)} = \frac{5b - 3a + 8}{5(a+5)}. Apoi z=y+35=5b−3a+85(a+5)+35=5b−3a+8+3(a+5)5(a+5)=5b−3a+8+3a+155(a+5)=5b+235(a+5)z = y + \frac{3}{5} = \frac{5b - 3a + 8}{5(a+5)} + \frac{3}{5} = \frac{5b - 3a + 8 + 3(a+5)}{5(a+5)} = \frac{5b - 3a + 8 + 3a + 15}{5(a+5)} = \frac{5b + 23}{5(a+5)}, și x=1−2y+z=1−2⋅5b−3a+85(a+5)+5b+235(a+5)=5(a+5)−2(5b−3a+8)+5b+235(a+5)=5a+25−10b+6a−16+5b+235(a+5)=11a−5b+325(a+5)x = 1 - 2y + z = 1 - 2\cdot\frac{5b - 3a + 8}{5(a+5)} + \frac{5b + 23}{5(a+5)} = \frac{5(a+5) - 2(5b-3a+8) + 5b+23}{5(a+5)} = \frac{5a+25 -10b+6a-16+5b+23}{5(a+5)} = \frac{11a -5b +32}{5(a+5)}. Soluția este unică pentru orice bb când a≠−5a \neq -5.
42 puncte
Pentru a=−5a = -5, determinantul este zero. Sistemul devine: {x+2y−z=12x−y+3z=5−x+4y−5z=b\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ -x + 4y -5z = b \end{cases}. Matricea extinsă este (12−1∣12−13∣5−14−5∣b)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & -1 & 3 & | & 5 \\ -1 & 4 & -5 & | & b \end{pmatrix}. Reducem: rândul 2 minus 2 ori rândul 1: 0 & -5 & 5 & | & 3, rândul 3 plus rândul 1: 0 & 6 & -6 & | & b+1. Împărțim rândul 2 la -5: 0 & 1 & -1 & | & -\frac{3}{5}, și rândul 3 la 6: 0 & 1 & -1 & | & \frac{b+1}{6}. Sistemul este consistent dacă −35=b+16⇒−18=5(b+1)⇒5b+5=−18⇒5b=−23⇒b=−235-\frac{3}{5} = \frac{b+1}{6} \Rightarrow -18 = 5(b+1) \Rightarrow 5b + 5 = -18 \Rightarrow 5b = -23 \Rightarrow b = -\frac{23}{5}. Dacă b=−235b = -\frac{23}{5}, atunci sistemul are o infinitate de soluții (planele se intersectează după o dreaptă). Dacă b≠−235b \neq -\frac{23}{5}, sistemul nu are soluție (planele nu au punct comun).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.