MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce cutii rectangulare cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 dm³. Materialul pentru baza costă 2 lei/dm², iar pentru fețele laterale costă 1 lei/dm². Determinați dimensiunile cutiei astfel încât costul total al materialului să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Notăm cu xx latura bazei (în dm) și cu hh înălțimea (în dm). Volumul: x2h=32x^2 h = 32. Costul total: C=2⋅x2+1⋅4xh=2x2+4xhC = 2 \cdot x^2 + 1 \cdot 4xh = 2x^2 + 4xh.
22 puncte
Din volum, h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Înlocuim în cost: C(x)=2x2+4x⋅32x2=2x2+128xC(x) = 2x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = 2x^2 + \frac{128}{x}, cu x>0x > 0.
32 puncte
Derivăm: C′(x)=4x−128x2C'(x) = 4x - \frac{128}{x^2}.
42 puncte
Punem C′(x)=0C'(x) = 0: 4x−128x2=0⇒4x3=128⇒x3=32⇒x=2434x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 4x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 32 \Rightarrow x = 2\sqrt[3]{4}. Verificăm minimul cu derivata a doua: C′′(x)=4+256x3>0C''(x) = 4 + \frac{256}{x^3} > 0 pentru x>0x>0, deci este punct de minim.
51 punct
Calculăm h=32x2=32(243)2=324⋅42/3=842/3=223h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{(2\sqrt[3]{4})^2} = \frac{32}{4 \cdot 4^{2/3}} = \frac{8}{4^{2/3}} = 2\sqrt[3]{2} dm. Dimensiunile optime: latura bazei 2432\sqrt[3]{4} dm, înălțimea 2232\sqrt[3]{2} dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.