MediuContinuitateClasa 12

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R} continuă. Știind că ∫01f(x) dx=3\int_0^1 f(x) \, dx = 3 și ∫12f(x) dx=5\int_1^2 f(x) \, dx = 5, demonstrați că există un punct c∈(0,2)c \in (0,2) astfel încât f(c)=4f(c) = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema valorii medii pentru integrale: există x1∈(0,1)x_1 \in (0,1) astfel încât f(x1)=∫01f(x) dx1−0=3f(x_1) = \frac{\int_0^1 f(x) \, dx}{1-0} = 3 și există x2∈(1,2)x_2 \in (1,2) astfel încât f(x2)=∫12f(x) dx2−1=5f(x_2) = \frac{\int_1^2 f(x) \, dx}{2-1} = 5.
23 puncte
Considerăm funcția g:[0,2]→Rg: [0,2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−4g(x) = f(x) - 4. Deoarece ff este continuă, gg este continuă.
33 puncte
Avem g(x1)=3−4=−1<0g(x_1) = 3 - 4 = -1 < 0 și g(x2)=5−4=1>0g(x_2) = 5 - 4 = 1 > 0. Prin teorema valorii intermediare, există c∈(x1,x2)⊂(0,2)c \in (x_1, x_2) \subset (0,2) astfel încât g(c)=0g(c) = 0, deci f(c)=4f(c) = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.